24 octobre 2012

Histoire de la trigonométrie

 

 

 

La trigonométrie (du grec trígonos, « triangulaire », et métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.

 

I-Histoire

 

A-Moyen-Orient

La trigonométrie remonterait aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l'Indus, tout cela il y a plus de 4000 ans. Lagadha (1350 ;1200 av J.C) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie et la trigonométrie pour l'astronomie mais ses travaux auraient été détruit.

La première utilisation de sinus apparaît en Inde (800 ;500 av J.C ).

 

B-Grèce

L'astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (190 ;120 av J.C) construisit les premières tables de trigonométrie sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre (avec une division du cercle en 360°), la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ptolémée (Vers 90 ;168)publia ces tables en Grèce vers l'an 150.

 

 

Hipparchos_1 Hipparque de Nicée                             

table trigo Table de trigonométrie

  

C-Arabie

C'est dans le monde arabo-musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l'astronomie entre l'an 1000 et 1200.

 

D-Europe

En Europe, au milieu du XIV siècle la trigonométrie se développa avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée.

 

II-Applications

 

Les applications de la trigonométrie sont extrêmement nombreuses. En particulier, elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation. Les autres champs où la trigonométrie intervient sont (liste non exhaustive) : acoustique, optique, électronique, statistiques, économie, biologie...

 

 

III-Formules

 

 

Une définition possible de la trigonométrie est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° degrés ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d'un triangle fait 180° (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse.

Dans la figure ci-dessous, l'angle \scriptstyle\widehat{ACB} forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle \widehat{BAC} = A :

346px-Rtriangle

trigo 1

 

 

 

Le premier rapport correspond au sinus de l'angle A grâce au coté opposé de l'angle A, ici a et l'hypoténuse du triangle : c.

Le second rapport correspond au cosinus de l'angle A grâce au côté adjacent de A, ici b et l'hypoténuse du triangle : c.

Le troisième rapport correspond à la tangente de l'angle A grâce au côté opposé de A, ici a et le côté adjacent de A : b

 

 Deux moyens simple à retenir :

SOH : Sinus : opposé sur hypoténuse          SOH CAH TOA

CAH : Cosinus : adjacent sur hypoténuse =       ou

TOA :Tangente : opposé sur adjacent         CAH SOH TOA

 

 

sincos

Ceci est une égalité avec cosinus et sinus.

 

IV-Problèmes

 

 

John Machin a été le premier à calculer avec 100 décimales, en 1706, grâce à sa formule. Des formules de ce type ont été utilisées jusqu'à nos jours, pour calculer un grand nombre de décimales de .

Voici la formule la plus appropriée à notre niveau mais pas très précise :

PI = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)

 

 

 

 

 

hexa3

 

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